典型习题:(120117)对坐标的曲线积分的基本计算方法

发布时间:2018-05-16 09:21

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习题解答

相关小结

对坐标的曲线积分的基本计算方法”题型的求解思路以及相关的知识点:

1.对坐标的曲线积分的基本计算方法的计算思路与步骤:

第一步:写出积分曲线的参数方程,并写出参数的取值范围,明确起点的参数值与终点的参数值。

第二步:直接将被积表达式中的所有变量用各变量的参数表达式替换,写成关于参变量的定积分描述形式,并且积分的下限取为有向积分曲线起点的参数值,上限取为终点对应的参数值,写出定积分表达式。

第三步:计算定积分得到最终积分结果。


【注1】如果积分曲线不能用一个参数方程描述,则对积分曲线进行分段处理,并对各分段曲线按照上面的步骤计算出相应的积分值,然后依据积分对积分曲线的可加性,累加各积分值得到最终结果。


【注2】对于曲线积分,不论是对弧长的还是对坐标的曲线积分,描述积分曲线的等式可以直接代入被积函数转换或者简化被积函数。


2.格林公式及应用条件

定理:(1) 积分曲线为封闭曲线L;(2) 积分曲线的方向相对于其围成的封闭区域D以左手法则判定为正方向;(3) 在闭区域上,两个二元函数P(x,y)和Q(x,y)存在有一阶连续偏导数,则有

3.二重积分的换元法

设二元函数f(x,y)在xOy面上的闭区域Dxy上连续,一对一的变换

T:x=x(u,v),y=y(u,v).

将uOv面上的闭区域Duv变换到Dxy,且满足

(1) x(u,v),y(u,v)在Duv上有一阶连续偏导数;

(2) 在Duv上雅可比行列式

则有

【注1】二重积分的极坐标计算公式换元法的一个结果,即令x=ρcosθ,y=ρsinθ,则有J=ρ,所以有

【注2】如果J≠0,有

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